Một số ứng dụng lí thú của khoảng cách

Nếu có người hỏi bạn: “Em hãy cho biết đường ngắn nhất từ Thủ đô Hà Nội đến Thành phố Việt Trì?”

          Có rất nhiều câu trả lời câu hỏi đó. Trong đó có câu trả lời: “ Đường ngắn nhất từ Thủ đô Hà Nội đến Thành phố Việt Trì là con đường hầm đào xuyên thẳng từ Hà Nội đến Việt Trì”

          Theo Toán học câu trả lời của bạn không sai. Nhưng trên thực tế cuộc sống, chúng ta hoạt động trên bề mặt Trái Đất, thì phải hiểu đường ngắn nhất từ Hà Nội đến Việt Trì là đường vòng cung theo bề mặt Trái Đất; còn con đường các tuyến xe hay đi đó là đường con người xây dựng cho hợp với địa hình, đảm bảo cho sự phát triển xã hội.

Trên Thế giới, đường hầm đào trong lòng đất làm đường giao thông có từ rất lâu và nhiều. Ví dụ như tuyến đường sắt Leverpool – Manchester ở Anh có từ năm 1826; đường hầm Saikan dài nhất thế giới hiện nay với tổng chiều dài 53,85 km, trong đó phần chìm dưới biển có chiều dài 23,3 km, nó nằm bên dưới eo biển Tsugaru nối liền hai đảo Honshu và Hokkaido của Nhật Bản…Và nếu dự án Đường hầm cơ sở Gotthard hoàn thành vào năm 2015 thì đây là đường hầm được xây dựng lớn nhất trong lịch sử châu Âu, và trở thành hầm đường sắt dài nhất trên thế giới với chiều dài dự kiến 57km. Đường hầm này được xây dựng ở Thụy Sĩ xuyên qua dãy Alps, vốn được coi là rào cản giữa Bắc Âu và Nam Âu. Người ta sẽ xây một tuyến đường ray cao tốc nối liền thành phố Zurich của Thụy Sĩ và Milan của Italy. Toàn bộ tuyến này sẽ nằm trên cùng độ cao 500 m so với mực nước biển, bảo đảm cho tàu hoả đạt đến tốc độ 240 km/h, rút ngắn thời gian di chuyển từ Zurich đến Milan chỉ còn 2,5 giờ.

Ở nước ta, cũng có rất nhiều đường giao thông hầm: Đường hầm dưới đèo Hải Vân với đường hầm chính dài 6,3 km, hầm phụ chạy song song dài 6,3 km, hầm thông gió dài 1,9 km, 3 hầm lọc bụi tĩnh điện cùng với 15 hầm ngang, tạo thành một hệ thống đường hầm hoàn chỉnh có tổng chiều dài khoảng 15,1 km.

          Tuy vậy các đường hầm trên vì quá ngắn nên ảnh hưởng của lực trọng trường không lớn, hơn nữa nhiều đường không phải là đường thẳng tắp.

          Vào khoảng đầu thế kỷ XX ở Peterbua (Leningrat) đã xuất hiện một tập sách “Đường sắt ngầm tự động giữa Peterbua và Mockva”. Đây là một cuốn tiểu thuyết viễn tưởng, tác giả đã nêu một kế hoạch táo bạo: Đào một đường hầm thẳng tắp, dài 800km giữa hai thủ đô cũ – mới của nước Nga. Điều quan trọng nhất của kế hoạch này không phải muốn có đoạn “đường ngắn nhất”, mà nếu có con đường như vậy thì sẽ phát sinh một hiện tượng khác thường: xe cộ giống như con lắc. Tốc độ ban đầu rất chậm, sau đó do tác dụng của trọng lực, tốc độ xe ngày càng nhanh, gần điểm giữa của đường hầm tốc độ đạt cao nhất, sau đó giảm dần, dựa vào quán tính tiến về cuối đường hầm. Tác giả cũng tính toán được rằng, nếu bỏ qua ma sát thì đi từ Peterbua đến Mockva chỉ mất 42 phút 12 giây.

          Như vậy, việc xác định khoảng cách trong Toán học giúp chúng ta có thể tìm được phương án tối ưu khi xây dựng công trình xây dựng, giao thông, chọn đường đi sao cho ngắn nhất.

Sau đây chúng ta đến với một ví dụ thú vị: Một con kiến ở đỉnh A của một khối gỗ dạng hình hộp chữ nhật, một miếng bánh ở điểm C’ của khối gỗ này. Hỏi con kiến phải  bò theo đường nào mới có thể đến được miếng bánh một cách nhanh nhất?

          Từ  hình 1 ta khai triển ba mặt nhìn được ta có hình 2. Khi đó ta thấy đường con kiến đi phải là đường ngắn nhất trong hai đoạn AMC’ và ANC’.

Giả sử AB = a, BC = b, AA’ = c. Từ hình 2 ta có:

           

Từ (*) ta thấy, khi a > c thì ANC’ > AMC’, tức là kiến phải bò theo đường gấp khúc AMC’ mới đến được miếng bánh nhanh nhất, ngược lại, khi a < c thì kiến phải bò theo đường gấp khúc ANC’.

Qua bài viết trên ta thấy rằng có thể ứng dụng “khoảng cách” để giải quyết các bài toán thú vị trong cuộc sống hàng ngày.

Lê Thị Ngọc Phượng

Sự kì diệu của toán học

Khi còn ngồi trên ghế nhà trường phổ thông, không ít các em học sinh đã hỏi thầy cô giáo dạy Toán của mình câu hỏi : "Kính thưa thầy (cô), chúng em học Toán để làm gì ạ hay Toán học có gắn với vấn đề thực tiễn nào không?" Và câu trả lời là.........

Lịch sử của toán trong kinh tế học

Sự ứng dụng của toán trong kinh tế không phải là một hiện tượng mới.  Thật ra toán đã đóng vai trò đáng kể trong kinh tế học trên dưới một thế kỷ nay mặc dù các thuyết kinh tế cổ điển (classical economics) đã được phát triển và hệ thống hoá mà không cần dùng toán.  Lấy thí dụ, hai kinh tế gia cổ điển lớn nhất, Adam Smith và David Ricardo, chỉ dùng thí dụ bằng số để minh hoạ các lý thuyết của mình.  Họ phối hợp các quan sát thực tế một cách phi toán với các lý luận suy diễn về liên hệ nhân quả để giải thích hệ thống kinh tế làm việc như thế nào.  Ngay trong công trình của các kinh tế gia cổ điển vĩ đại cuối cùng như John Stuart Mill và Karl Marx, công thức toán hay đồ thị cũng chỉ là một loại tốc ký hay phương cách trình bày mà thôi.  Một ngoại lệ đáng kể là thuyết dân số của Thomas Malthus (1798) trong đó Malthus lập luận rằng dân số tăng theo cấp số nhân trong khi thực phẩm chỉ tăng theo cấp số cộng.

Ngày nay, phần lớn các nhà kinh tế đồng ý rằng Augustin Cournot, triết gia và toán gia Pháp, xứng đáng nhận lãnh danh hiệu “cha đẻ của kinh toán học”.  Cournot (1838) được coi là khai sinh ra kinh toán học vì ông đã hệ thống hoá sự ứng dụng ký hiệu, công thức và lý luận toán trong kinh tế.  Sau thời Cournot, hầu hết các kinh tế gia danh tiếng đều phải sử dụng toán, không ít thì nhiều, trong việc phát triển và truyền đạt các lý thuyết của mình.  Cournot được xem là một trong những kinh tế gia đầu tiên đã thành công trong việc thành lập một lý thuyết giá trị nhất quán qua các phân tích về tiêu thụ.  Một vài đóng góp cụ thể của ông cho kinh tế gồm có: ý niệm hàm và xác xuất trong phân tích kinh tế, hàm cầu, hàm cung, thuyết độc quyền và lưỡng độc quyền (duopoly).  Cũng nên nhắc là thuyết lưỡng độc quyền của Cournot đánh dấu bước đầu nghiêm túc của thuyết trò chơi và giải pháp của Cournot là một hình thức hạn chế của cân bằng Nash.

Các công trình của Cournot đánh dấu sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua kinh tế tân cổ điển (neoclassical economics) (xem Hildenbrand, 1982).  Cả hai thuyết đều quan tâm đến sản xuất, phân bố, trao đổi và tiêu thụ của cải (của cải theo nghiã hàng hoá).  Các kinh tế gia cổ điển chú ý đến sản xuất và phân phối của cải qua thời gian.  Họ nhấn mạnh tỷ lệ tăng truởng dân số và nguồn lực vật chất, và xem xét hậu quả của các nhân tố này lên tiến bộ kinh tế cũng như phúc lợi của nhân dân và xã hội.  Các kinh tế gia tân cổ điển ít quan tâm đến các khiá cạnh động.  Thay vào đó, họ đặt câu hỏi: “trong một nền kinh tế với dân số có sở thích, nguồn lực và kỹ thuật cho sẵn, làm sao các nguồn lực có thể phân phối qua một hệ thống thị trường để cực đại hoá sự thoả mãn của người tiêu thụ?”  Dùng thuật ngữ kinh tế ngày nay, sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua tân cổ điển là sự xê dịch từ phân tích kinh tế vĩ mô sang vi mô.  Đường hướng mới này (xem vấn đề quyết định cá nhân như một vấn đề tối ưu) có thể giải quyết một cách toán học bằng phương pháp giải tích.  Walras (1874) lý luận: “Chỉ có toán mới có thể giúp chúng ta hiểu ý nghiã của điều kiện hữu dụng tối đa (maximum utility).”

Kinh tế tân cổ điển khởi đầu với ba kinh tế gia: Stanley Jevon (Anh), Carl Menger (Áo) và Léon Walras (Pháp).  Ba kinh tế gia này thường được xem là ông tổ của “Cách mạng Biên tế” (Marginalist Revolution).  Danh từ biên tế liên quan đến kết quả toán của điều kiện biên tế cho cân bằng thị trường.  Quan trọng nhất trong ba kinh tế gia này là Walras, người được Joseph Schumpeter (1954: 827) xưng tụng là “kinh tế gia vĩ đại nhất”.  Lý do Walras được gọi như vậy là vì Walras (1874) đã khám phá ra lý thuyết cân bình tổng thể (general equilibrium theory).  Thuyết này giải thích quân bình của một hệ thống kinh tế thị trường qua quá trình điều chỉnh giá cả mà trong đó các tác nhân kinh tế riêng rẽ không thể ảnh hưởng lên giá thị trường.  Nói tóm gọn, Walras đã xếp đặt một chương trình nghiên cứu mà rất nhiều kinh tế gia thế kỷ 20 đã theo đuổi.  Cùng với học trò là Vilfredo Pareto, Walras sáng lập trường phái Lausanne, có thể xem là trường phái kinh toán đầu tiên trên thế giới.[2]

Từ khi kinh tế tân cổ điển xuất hiện đến nay, phấn lớn những đóng góp quan trọng nhất cho lý thuyết kinh tế là từ kinh tế gia có đầu óc toán học.  Những kinh tế gia này dều xem toán là cần thiết và không thể thiếu.  Hai ngoại lệ đáng chú ý là hai kinh tế gia Anh, Alfred Marshall và John Maynard Keynes.  Marshall học và dạy toán tại Cambridge, trước khi chuyển sang kinh tế.  Tuy Marshall đã mang tính nghiêm túc của toán vào kinh tế, ông tỏ vẻ nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế.  Ông cho rằng các biến số thật trong đời sống quá nhiều và hổ tương với nhau (interrelated) do đó (i) các cố gắng toán hoá sẽ làm vấn đề quá phức tạp, không nghiên cứu được, và (ii) nếu phải bỏ sót để vấn đề có thể phân tích được, thì lời giải thích sẽ trở thành thiếu thực tế.  Trong sáchNguyên lý Kinh tế, Marshall (1890) giới hạn lý luận toán vào chú thich cuối trang, do ddó các lập luận trong văn bản đều là bằng lời.  Khá nhiều kinh tế gia cho rằng (i) Marshall không hoàn toàn thành thật khi phê bình như vậy, và (ii) thật ra muốn hiểu các lập luận của Marshall thật sâu người đọc phải biết nhiều hơn về toán hơn là Marshall thừa nhận (xem Hildenbrand, 1982: 66).

Keynes, giống như Marshall, ban đầu được đào tạo để trở thành một nhà toán học và cũng nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế.  Keynes chỉ dùng một ít toán và lý luận rằng khả năng của toán trong việc thu hút nội dung của kinh tế rất là hạn chế.  Việc này dễ hiểu được vì quan tâm chính của Keynes là chính sách kinh tế và một kinh tế gia muốn phát biểu các dề xuất cho các vần đề kinh tế khẩn cấp, phải dùng ngôn ngữ càng ít toán càng tốt.  Nhưng cũng vì thế mà công trình vĩ đại nhất của Keynes (1936) có nhiều chỗ không rõ ràng và mâu thuẫn (có lẽ vì Keynes thay đổi các giả thiết ẩn tàng từ chương này qua chương khác).  Dù sao Keynes cũng dặt nền móng cho kinh tế vĩ mô hiện đại và mở màn cho một chương trình nghiên cứu thúc đẩy vai trò của toán trong kinh tế và ứng dụng của toán trong các công trình thực nghiệm.

Trong thế kỷ 20, các công trình kinh toán to lớn nhất xuất hiện sau Thế chiến Thứ hai.  Trong phạm vi bài này, tôi chỉ xin nêu ra, một cách ngắn gọn, ba thí dụ tiêu biểu nhất.  Thứ nhất, Paul Samuleson, lý thuyết gia kinh tế lỗi lạc nhất của thế kỷ 20.  Samuelson (1947) được nhiều người xem là cha đẻ của kinh toán học hiện đại qua cuốn sách Nền tảng của Phân tích Kinh tế.  Cuốn sách này, rút ra từ luận án tiến sĩ năm 1941 của Samuelson, dùng ngôn ngữ toán nghiêm túc thống nhất các thuyết kinh tế bằng một vài nguyên lý cơ bản, và đặt nền tảng cho các nghiên cứu kinh toán hiện đại.  Nhờ ảnh hưởng của Samuleson, trọng tâm nghiên cứu kinh toán học đã dần chuyển từ Âu châu sang Bắc Mỹ.

Thí dụ thứ nhì là mô hình cạnh tranh hoàn hảo Arrow–Debreu–McKenzie (ADM), dựa trên các công trình của Arrow & Debreu (1954) và Lionel McKenzie (1954).  Mô hình ADM là mô hình trung tâm của lý thuyết cân bình tổng thể và thường được dùng làm một tham khảo tổng quát cho các mô hình kinh tế vi mô khác.  So sánh với các mô hình trước đó, mô hình ADM dùng một ý niệm hàng hoá rất tổng quát, phân biệt hàng hoá bằng không gian lẫn thời gian.  Dưới một số giả thiết nhất định, Arow và Debreu đã dùng vị tướng học (topology), thay vì giải tích, để chứng minh sự hiện hữu của một cân bình tổng thể của thị trường cạnh tranh hoàn hảo (tức là cân bình Walras).  Điều đáng chú ý là Debreu từng là một thành viên của nhóm toán gia lừng danh Bourbaki và đã dùng phương pháp tiên đề trong các nghiên cứu kinh tế của ông.

Thí dụ thứ ba là lý thuyết trò chơi.  Tuy có nhiều người đã thảo luận một số ý niệm về thuyết trò chơi trước đó, nhà bác học von Neumann thường được xem là cha đẻ của thuyết trò chơi vì ông đã phát triển khá hoàn hảo và phổ thông hoá thuyết này (xem von Neumann và Morgenstern, 1944).  Von Neumman đề xuất thuyết trò chơi như một thứ ngôn ngữ mới dùng để biểu diễn và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chính xác.  Lối tư duy mới này nhấn mạnh sự tương tác chiến lược giữa các tác nhân kinh tế (cá nhân, doanh nghiệp, chính phủ, vv).  Như vậy, lý thuyết cân bình tổng thể có thể xem là một trường hợp đặc biệt của thuyết trò chơi.  Tác phẩm chung của von Neumann và Morgenstern đã cách mạng hoá bộ môn kinh tế và nghiên cứu trong kinh tế.  Tuy rằng cuốn sách này viết riêng cho các nhà kinh tế, sự ứng dụng của thuyết trò chơi trong tâm lý học, xã hội học, chính trị học, chiến tranh, các trò chơi giải trí, v.v. trở nên rõ ràng khá nhanh sau đó.

Ngoài von Neumann, nhiều toán gia khác cũng tìm cách ứng dụng toán thuần lý vào lĩnh vực kinh tế trong hậu bán thế kỷ 20.  Nổi tiếng nhất có lẽ là toán gia Steve Smale, người thắng Huy chương Field năm 1966 (một phần vì đã chứng minh Ước đoán Poincaré cho trường hợp n ³ 5).  Smale đã đóng góp rất nhiều cho lý thuyết kinh tế trong thập kỷ 1970.  Ông đã thành công trong việc mang giải tích toàn bộ, vị tướng học và động học vào những nghiên cứu về cân bình kinh tế tổng quát.

Để có một cái nhìn khách quan và toàn diện hơn, chúng ta cũng nên xét qua vài thí dụ về các ứng dụng toán không thành công lắm trong kinh tế.  Hai thí dụ tiêu biểu nhất có lẽ là thuyết tai biến (catastrophe theory) và thuyết hỗn độn (chaos theory).  Sau nhiều thập kỷ phát triển dần dần, thuyết tai biến chính thức xuất hiện vào đầu thập kỷ 1970 qua những công trình đột phá của René Thom (1969).[3]  Sau đó, thuyết tai biến đã được áp dụng trong khá nhiều nghiên cứu kinh tế, thí dụ như thị trường chứng khoán, thị trường độc quyền, chu trình kinh tế, mô hình lạm phát, đầu cơ hối suất, thuyết tăng trưởng, kinh tế thành phố và vùng, kinh tế sinh thái, vv (xem Rosser 2007).  Vào cuối thập kỷ 1970, nhiều tác giả bắt đầu chỉ trích sự lạm dụng của thuyết tai biến (không phải chỉ trong kinh tế) vì ba lý do chính như sau: (i) thuyết tai biến dựa quá nhiều trên các phương pháp định tính, (ii) nhiều ứng dụng đòi hỏi các định lượng hoá giả mạo hay phương pháp thống kê không thích hợp, và (iii) rất nhiều mô hình không thoả những điều kiện toán cần cho thuyết tai biến.  Cũng vì thế mà trong thập kỷ 1990, gần như không có bài nghiên cứu nào đăng trong các tạp chí kinh tế hàng đầu dám nhắc đến thuyết tai biến.  Ngày nay, phần đông các nhà kinh tế có một cái nhìn đúng đắn và lạc quan hơn về thuyết tai biến.  Tuy không phải là kỹ thuật tổng quát có thể dùng cho mọi trường hợp, thuyết tai biến vẫn đóng một vai trò nhất định nào đó trong việc nghiên cứu hiện tượng bất liên tục động trong kinh tế (Roser 2007).

Giống như thuyết tai biến, thuyết hỗn độn có nguồn gốc sâu xa từ những công trình nghiên cứu về toán và cơ học thiên thể của “toán gia phổ quát cuối cùng” Henri Poincaré vào cuối thế kỷ 19.  Poincaré nhận thấy rằng các hệ thống xác định, động, phi tuyến, đơn giản (simple nonlinear dynamic deterministic systems) dưới một số điều kiện nào đó tiến hoá một cách có vẻ như ngẫu nhiên, phức tạp.  Những hệ thống này rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu và do đó dự đoán dài hạn với bất kỳ độ chính xác nào đòi hỏi các điều kiện ban đầu được định rõ tới mức chính xác vô cực.  Bắt đầu từ giữa thập kỷ 1970, thuyết hỗn độn đã được áp dụng vào rất nhiều lĩnh vực kinh tế khác nhau (xem Baulmol & Benhabib 1989).  Ứng dụng của thuyết hỗn độn trong kinh tế gây ra vài trở ngại chính như sau.  Thứ nhất, sự có mặt của hỗn độn làm dự đoán dài hạn không khả thi, và người dự báo sẽ phải trả giá cực kỳ cao nếu chỉ muốn tăng tầm xa dự báo lên chút ít.[4]  Tính không dự đoán dài hạn này cũng trái ngược với giả thiết kỳ vọng hợp lý (rational expectations), một ý niệm cơ bản trong các lý thuyết kinh tế hiện đại.  Thứ hai, quan trọng hơn, các nhà nghiên cứu chưa tìm được bằng chứng có tính thuyết phục về sự hiện diện của hỗn độn xác định trong các chuỗi dữ kiện kinh tế thời gian.  Nếu như thế, các nhà kinh tế có nên tiếp tục bỏ công sức vào thuyết hỗn độn hay nên khảo sát các dạng động lực phi tuyến khác với khả năng tiên đoán tốt hơn?  Tuy nhiên, thuyết hỗn độn nói chung không bị các nhà kinh tế tránh né như thuyết tai biến.  Một số nhà kinh tế cho rằng thuyết hỗn độn vẫn cần cho lý thuyết kinh tế, nhưng các dụng cụ và phương pháp nghiên cứu phải khác hơn những kỹ thuật dùng trong quá khứ

Toán học và thế giới chúng ta

Chúa đã tạo ra các số nguyên; tất cả còn lại là tác phẩm của con người.

Leopold Kronecker

 

Chân dung của Archimedes trên huân chương Fields.

Toán học bắt đầu thời kỳ xa xưa của lịch sử văn minh nhân loại: Euclid đã viết quyển “Elements” (Cơ sở, của hình học Euclid) tại thành phố Alexandria 300 năm trước Công nguyên, Archimedes đã tìm ra những phép tính diện tích, thể tích, và phép tính xấp xỉ số p  thế kỷ thứ 3 trước CN, nếu không muốn kể những người Ai Cập và Babylon đã có khả năng làm toán khoảng 3.000 năm trước CN. Người Ai Cập được xem như người phát minh ra môn hình học. Pythagoras của Samos, người phát minh định lý Pythagore, sống đầu thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên. Ấn Độ và Trung Quốc cũng có toán học rất sớm.

Sau một đêm dài Trung cổ toán học sống lại và phát triển mạnh mẽ. Galilei có lẽ là người đầu tiên tiếp sức cho nó rất đáng kể. Ông ví vũ trụ như một quyển sách lớn mà nếu ta không biết ngôn ngữ của nó thì không thể nào đọc được:

Triết học được viết vào một quyển sách lớn của vũ trụ, và nó thường xuyên được mở ra trước mắt chúng ta. Nhưng người ta không thể hiểu được quyển sách này, nếu trước tiên không hiểu được ngôn ngữ của nó và biết giải mã bộ ký tự mà nó đã được viết nên. Nó được viết bằng ngôn ngữ của toán học, và các ký tự của nó là các tam giác, vòng tròn và cách hình thể hình học khác, mà nếu không có chúng không ai có thể hiểu được một chữ trong đó; không có chúng người ta mò mẫm như trong một mê lộ tối tăm.

Galileo Galilei

(Xin xem thêm “400 năm thiên văn và Galilei”, nxb Tri Thức, 2009)

 Câu nói này của Galilei thường được nhắc lại trong thế kỷ 20 khi con người có những khám phá vượt bậc, đặc biệt khi thuyết tương đối rộng của Einstein ra đời trên khung hình học.

Thế giới của virtuosi (khoa học gia nghệ nhân). Xác định chiều cao bằng “squadra”. Ảnh từ Niccolò Tartaglia, La Nova Scientia

Toán học thời Galilei là hình học, là “các tam giác, vòng tròn và các hình thể hình học khác…”. Nhưng chỉ 50 năm sau ngày mất của Galilei, ngôn ngữ của toán học để hiểu tự nhiên đã trở thành toán vi tích phân, được phát minh ra bởi Newton và Leibniz ở thế kỷ 17 (những ký hiệu trong toán vi tích phân được sử dụng ngày nay là từ Leibniz). Trước đó Descartes đã phát triển hình học, đại số và hình học giải tích để giúp Newton phát triển toán của mình. Toạ độ “Cartesian” chúng ta thường nghe thấy chính là toạ độ mang tên ông, tên viết theo tiếng La tinh.

Toán học thời Maxwell tiếp theo đó là toán học phương trình vi phân (kể cả phương trình đạo hàm riêng) để mô tả sóng điện từ và ông tiên đoán có loại sóng này được truyền với vận tốc ánh sáng. Heinrich Hertz sau đó phát hiện loại sóng này bằng thí nghiệm. Rồi toán học của Boltzmann là toán xác suất để hiểu các hiện tượng vi mô bằng định luật thống kê. Toán học thời Einstein là hình học Riemann và phương trình vi phân. Toán học thời thuyết lượng tử cũng là phương trình vi phân (phương trình sóng của Schrödinger).

Toán học thời Trung cổ được các kỹ sư nghệ nhân sử dụng nhiều trong xây dựng. Không có nó, không thể tính toán xây dựng các nhà thờ như những kỳ quan kiến trúc. Nói chung, toán học dần dần thâm nhập vào toàn bộ khoa học và công nghệ ngày càng mạnh mẽ. Từ vị trí thấp kém là “con tì” của các ngành khoa học khác, kể cả của triết học, thần học, toán học đã trở thành “nữ hoàng” của các ngành khoa học. Bức tranh của thế giới dần dần được điều chỉnh và minh xác khỏi các tư biện của các nhà triết học cổ đại như Platon, Aristoteles, khỏi ảnh hưởng của nhà thờ. Galilei là người đã dùng toán học và thí nghiệm để chống lại cả thời đại kinh điển của ông. Không có toán học, thế giới khó ra khỏi đêm dài của tư biện thuần túy.

 

Albert Einstein

Kỹ thuật hiện đại đã đem lại những tiện nghi cho con người, tất cả đều bắt nguồn từ vật lý và toán học, mà toán học lại là nền tảng cơ bản.

 

Wilhelm von Humboldt trong chương trình cải cách giáo dục và giáo dục đại học của ông năm 1810, tức đúng 200 năm trước, cũng lấy toán học làm điểm tựa để phát triển tư duy của học sinh, sinh viên.

Năm 2000 chương trình cải cách giáo dục của Mỹ “No Child Left Behind”cũng nhấn mạnh việc đào tạo toán học làm trang bị căn bản cho học sinh sinh viên trong thế kỷ 21 trước cuộc cạnh tranh toàn cầu hóa.

Đại học, hay Quốc tử giám, của Việt Nam vốn tồn tại khoảng 900 năm, cũng đúng vào thời kỳ đại học xuất hiện ở châu Âu thời Trung cổ, nhưng chương trình học của ông cha Việt Nam là hoàn toàn không có môn toán học, lôgic học như ở phương Tây.

Cách đây không lâu (2005), nhà vật lý học vũ trụ Stephen Hawking đã cho xuất bản một quyển sách dầy cộm hơn ngàn trang với tiêu đề “Chúa đã tạo ra các số nguyên”, mượn một câu nói của nhà toán học Đức Leopold Kronecker thế kỷ 19 ("God made the integrers; all else is the work of man"), trong đó Ông đăng lại những tác phẩm chính của các nhà toán học trong khoảng thời gian gần 2500 năm, từ Euclid, Archimedes, Diophantus, đến Descartes, Laplace, Newton, Fourier, Gauss, đến Cauchy, Boole, Riemann, Weierstrass, Dedekind, đến Cantor, Lebesgue, Gödel và Turing. Ông viết: “Cuốn sách này là một sự vinh danh các nhà toán học đã giúp chúng ta tiến bước trong sự hiểu biết về thế giới, và là những người dọn đường cho thời đại của khoa học và công nghệ chúng ta.” Ông viết tiếp: “Qua nhiều thế kỷ, nỗ lực của các nhà toán học này giúp nhân loại đạt được sự hiểu biết vĩ đại về tự nhiên, như nhận thức rằng trái đất là hình tròn, rằng cùng một lực đã gây hiện tượng trái táo rơi xuống đất cũng như tạo ra các chuyển động của thiên thể, rằng không gian là hữu hạn và không bất diệt, rằng thời gian và không gian quyện vào nhau, và cuốn lại bởi năng lượng và vật chất, rằng tương lai chỉ có thể được xác định một cách xác suất. Những cuộc cách mạng như chúng ta đã quan về niệm thế giới luôn luôn đi tay trong tay với các cuộc cách mạng trong tư duy toán học”. Trong phần kết luận ông nói: “Giống như trong quá khứ, những phát triển tương lai trong toán học chắc chắn sẽ tác động, trực tiếp hay gián tiếp, đến cách chúng ta sống và suy nghĩ. Các kỳ quan của thế giới cổ đại là vật chất, như các kim tự tháp của Ai Cập. Như quyển sách này minh hoạ, kỳ quan lớn nhất của thế giới hiện đại là sự h iểu biết của chúng ta.”

Konrad Zuse (1910-1995) xây dựng từ 1931-1945 những chiếc máy tính đầu tiên tại Berlin.

Có thể chúng ta quên đi toán học khi học xong để làm những ngành nghề khác. Nhưng toán học giúp chúng ta hình thành suy nghĩ lôgíc. Câu nói sau đây trong ngành giáo dục Đức thường được trích dẫn: “Giáo dục là cái mà người ta còn giữ lại sau khi đã quên đi hết những điều đã học”. Hơn bao giờ hết, người Việt Nam cần học toán học để hình thành cho mình lối suy nghĩ lôgíc đó, và để giải quyết các vấn đề cụ thể trong nghề nghiệp hay cuộc sống, cũng như để bớt những sự hư cấu, hoang tưởng. Có lẽ một phần vì thiếu căn bản tư duy lôgíc, nên xã hội đã sinh ra những tư duy dỏm mà vẫn cho rằng mình “nhất thiên hạ”, khiến cho xã hội trì trệ, tắc nghẽn.

Trong khuôn khổ này, có lẽ nhận định lịch sử sau đây của F. Nietzsche về khả năng tư duy lôgíc của châu Âu và châu Á là đáng chú ý:

Trường học không có nhiệm vụ nào quan trọng cho bằng nhiệm vụ dạy cách tư duy chặt chẽ, phán đoán thận trọng và kết luận lôgic. Cho nên trường học phải loại bỏ tất cả những gì không thích hợp với các thao tác này, thí dụ như tôn giáo⁽¹⁾. Nó phải dự trù rằng sau này sự mơ hồ của con người, thói quen và ham muốn sẽ làm giảm đi khả năng tư duy chặt chẽ. Tuy nhiên bao lâu ảnh hưởng của nó còn cho phép, trường học cần phải dạy cho được điều cơ bản và trội bật ở con người sau đây: "Lý tính và Khoa học, như khả năng tri thức cao nhất của con người" ⁽²⁾ như ít nhất Goethe nhận định. – Nhà nghiên cứu khoa học tự nhiên von Baer nhận thấy tính ưu việt của người châu Âu so với người châu Á về năng lực được giáo dục ở nhà trường, rằng họ có thể đưa ra những lý lẽ để biện minh cho điều họ tin, trong khi những người kia hoàn toàn không có khả năng. Châu Âu đã trải qua trường học của tư duy lôgic và có tính phê phán, trong khi châu Á vẫn chưa phân biệt được giữa Sự thật và Thi ca⁽³⁾, và chưa ý thức được sự tin tưởng của mình có phải là kết quả từ sự quan sát riêng và cách tư duy đúng đắn, hay là từ những sự tưởng tượng (phantasy). Lý tính trong trường học đã làm cho châu Âu trở thành châu Âu: trong thời Trung cổ nó đã có nguy cơ biến thành một mảnh đất và một phần phụ thuộc của châu Á – nghĩa là mất mát tinh thần khoa học mà nó đã học được từ những người Hy Lạp.

Friedrich Nietzsche

Trong bài “Lý tính trong trường học” (Die Vernunft in der Schule)

 

Việt Nam quả đang đau khổ vì sự thâm thụt trầm trọng về lý tính, đặc biệt trong tư duy chính trị. Người ta dễ dàng khẳng định những cái chưa bao giờ chứng minh được bằng thực nghiệm hay bằng lôgíc, hay ngay cả khi điều muốn chứng minh đã nhận được những phản thí dụ ngó thấy. Việt Nam chưa phải là trường học của lý tính.

Newton đã để lại lịch sử tấm gương khiêm tốn tuyệt vời khi ông nói câu nói bất hủ mà hậu thế hôm nay vẫn còn lắng nghe: “Tôi không biết người ta sẽ nghĩ gì về tôi, nhưng đối với tôi, tôi chỉ là một cậu bé chơi bên bãi biển và tự hài lòng khi chốc chốc lại nhặt được một viên sỏi nhẵn hay một vỏ sò đẹp, trong khi đại dương vĩ đại của chân lý vẫn nằm trước mặt tôi một cách nguyên sơ .” Quả Newton thừa nhận một điều rất khiêm tốn: tính công bằng và dân chủ trong khoa học.

Hãy học lấy cái khiêm tốn đó trước đại dương chân lý bao la. “Chân lý là cái không bao giờ tìm thấy hết được trọn vẹn và chúng ta không ngừng đi tìm nó” như Humboldt nhắn nhủ 200 năm trước